«Параллельный перенос вектора. Критика»

Петр Путенихин

Параллельный перенос вектора. Критика

Практически во всех источниках, учебниках, рассматривающих вопрос определения кривизны собственного пространства внутренним наблюдателем, можно встретить утверждение, что он способен сделать это без привлечения понятия пространства большей размерности:

"… внутренняя кривизна пространства-времени, т. е. кривизна, при определении которой не только не используется погружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [8, т.1, с.411].

В качестве одного из способов такого определения чаще всего рассматривается явление поворота вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. Изменение направления вектора зависит от исходного направления вектора, а также от ориентации двумерной поверхности, в которой расположен этот замкнутый контур; при заданной ориентации изменение направления вектора пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром. Следовательно, численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].

Известны и более формализованные описания таких процессов, например, в терминах тензоров:

"… параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру. Параллельно перенося произвольный тензор … из произвольной точки А в точку D вдоль различных сторон параллелограмма … можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями (уравнение) …" [4, с.67]

Разностью компонент тензора в данном случае и обозначают изменение направления вектора при таком параллельном переносе. Примерно такой же вывод следует из доказательств еще одного автора:

"При произвольном переносе … вектор получает приращение … Выведем формулу … Таким образом, при параллельном переносе вектор … получает приращение …" [5, с.51]

Эти выводы относятся к криволинейным пространствам, поскольку в декартовой и в евклидовой системах координат компоненты векторов при параллельном переносе не изменяются и результирующий вектор после прохождения любого замкнутого контура совпадет с исходным вектором, причем система координат в общем случае, как считается, может быть и искривленной. Но в искривленном пространстве:

"… результирующий вектор a*i, вообще говоря, будет отличен от исходного вектора ai, причем разность a*i – a*i зависит от выбора замкнутой кривой … это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами" [7, с.231].

Именно такое поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения понятия кривизны пространства:

"… пространство называется искривленным, если результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую зависит от выбора пути, по которому производится перенос" [1, с.84].

При параллельном переносе всегда принимается, что длина вектора остается неизменной, поэтому результатом переноса может быть только поворот вектора, но не его растяжение или сжатие. Поскольку пути могут быть разными, то и результирующий поворот так же может быть разным. В частности, главной характеристикой связности на многообразии есть изменение при переносе касательного вектора:

"В дифференциальной форме его можно описать заданием оператора поворота вектора Г при переходе из точки x в точку x+dx, а именно:

Коэффициенты Гμαν в формуле (3.4) называются компонентами связанности. Разбивая теперь кривую, соединяющую две точки пространства, на малые отрезки и описывая на каждом отрезке изменение вектора с помощью оператора (3.4), можно получить изменение вектора при переносе из одной точки в другую. При этом существенно, что результат будет различен для различных кривых, связывающих эти точки …

Таким образом, параллельный перенос в искривленном пространстве зависит от пути, по которому он осуществляется" [6, с.30].

Очевидно, что разных путей параллельного переноса вектора из одной точки в другую может быть сколько угодно. В плоском пространстве существует единственное направление, параллельное заданному в какой-то точке, поэтому результат переноса определяется только исходным вектором и не зависит от пути переноса. Напротив, в искривленном пространстве:

"… результат параллельного переноса вектора зависит не только от исходного вектора, но и от пути, по которому совершается перенос.

Рис.35. Параллельный перенос вектора по двум возможным путям

Если вектор v0 (рис. 35) сначала параллельно переносится из точки A в точку B, а затем в точку D, то в результате мы получим вектор v1, если параллельный перенос вектора v0 совершается от точки A к точке D через точку C, то результатом переноса будет вектор v2. Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из отрезков прямых (ломаная линия), в конце концов возвращающихся в исходную точку (замкнутая ломаная), приводит к новому вектору в начальной точке; этот новый вектор отнюдь не совпадает с исходным, хотя при переносе вектора по всем сегментам петли мы нигде не нарушили правил параллельного переноса" [1, с.62].

Численно величина кривизны многообразия (пространства) может быть выражена через конкретные числовые параметры параллельного переноса:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. … численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].

Как вариант, объективным, количественным показателем кривизны пространства может быть величина, пропорциональная площади контура, по которому производится параллельный перенос вектора:

"В искривленном пространстве начальное и конечное направление вектора не совпадают, причем отличие δA будет прямо пропорционально площади контура δS" [2, с.54].

В работе [3, с.59] в достаточно общем, формальном виде приводятся определения понятий параллельного переноса вектора и понятия кривизны – тензора кривизны или тензора Римана. Отмечено, что задача о параллельном переносе и определении кривизны является корректной и имеет однозначное решение.

Следует возразить: при всей корректности, однозначности и точности аналитических выкладок, они все-таки недостаточно наглядны. Вместе с тем, это весьма важное обстоятельство, поскольку в графических иллюстрациях можно заметить некоторое несоответствие с аналитикой. Действительно, при анализе рис.35 к приведенной выше цитате сразу же возникает вопрос: почему при движении вектора из точки A в точку C его направление резко изменилось визуально? По известным соображениям мы должны считать две дуги AD и CB параллельными, как находящиеся на римановой, сферической поверхности положительной кривизны. И заметим кстати, что на карте Земли (глобусе), как это ни странно звучит, параллельными на самом деле являются меридианы, а не параллели, которые являются просто кривыми линиями.

В качестве наиболее наглядной демонстрации такого изменения направления вектора при параллельном переносе обычно приводится перенос вектора на поверхности сферы. В этом случае роль прямой играют дуги больших кругов сферы, получаемые сечением сферы плоскостью, проходящей через её центр. Во всех таких примерах наглядно демонстрируется, что при параллельном переносе вектора по поверхности сферы в исходную точку его направление не совпадает с направлением исходного вектора.

Рассмотрим один из таких примеров параллельного переноса вектора на поверхности сферы, ожидая, что в нем никаких неясностей, неопределенностей нет.

"На рисунке начальное положение вектора обозначено цифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом (положения 2, 3, …) вокруг сферического треугольника, все углы которого равны 90o. По возвращении в исходную точку вектор (положение 4) оказывается повернутым на 90o:

(положительна; направление поворота совпадает с направлением обхода) [8, т.1, с.412]".

Рис.1. Паралельный перенос вектора [8, т.1, с.412]

Гауссова кривизна γG в рассмотренном случае сферической поверхности определена как отношение площади, обойденной вектором, к углу поворота вектора, когда он вернулся в исходную точку [8, т.1, с.412]. В примере с треугольным контуром, действительно, получается вполне осмысленная величина кривизны – 1/a2, где а – радиус сферы:

Как видим, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор не совпал по направлению с исходным. Хотя на рисунке это не очень заметно, но в предпоследней точке 3 направление вектора в точности совпадает с последним направлением 4 при обходе треугольника. Тем не менее, и в данном случае возникает вопрос по изображению векторов. Судя по всему, векторы в точках 2 и 3 направлены точно по сторонам треугольника, то есть, по определению параллельны друг другу. Однако они изображены слишком короткими отрезками, поэтому на рисунке не совсем ясно, лежат ли они на поверхности сферы? На плоском пространстве поверхности сферы возможны лишь векторы, полностью совпадающие с этой поверхностью.